Objetivo:
Introduzir de forma simples e objetiva as noções de função linear e seus casos particulares.

Motivação
Consideremos o seguinte problema:
Um motorista de taxi cobra nas suas corridas R$ 7,00 pela bandeirada mais R$ 5,00 por quilômetro rodado. Com base nestas informações determine:
a) Uma expressão geral para calcular o preço de todas as corridas deste motorista
b) Qual é o preço de uma corrida de 4,5 km

Solução:
a) Como a cada quilômetro ele adiciona R$ 5,00 então para uma quantia x de quilômetros o valor de cada quilômetro deverá ser multiplicado por x. Assim uma corrida de x km deverá custar 5x. Mas existe a taxa da bandeirada que também deve ser adicionada ao valor. Desse modo a expressão geral para calcular o preço de uma corrida é P(x) = 5x + 7.

b) O preço de uma corrida de 4,5 km será P(4,5) = 5 (4.5) + 7; ou seja, R$ 29,50.

Problemas deste tipo são próprios de aplicações das funções do primeiro grau, que definiremos a seguir.

Definição:
Chamamos fução de primeiro grau ou função linear a toda função que obedeça a seguinte lei:
f(x) = ax + b ,  onde a e b são números reais.

Exemplos:
1) f(x) = 2x + 5
2) f(x) = 3x - 4

Representação gráfica
O gráfico de uma função de primeiro grau no plano cartesiano é sempre uma reta.

As funções de primeiro grau podem receber denominações especiais. Veja a seguir tais denominações:

Função constante
Se em f(x) = ax + b fizermos a = 0, teremos f(x) = b. Neste caso a função recebe a denominação de função constante.

O gráfico de uma função constante no plano cartesiano é uma reta horizontal; ou seja, paralela ao eixo dos x.

Função identidade
Se em f(x) = ax + b fizermos a = 1 e b = 0, teremos f(x) = x. Neste caso a função recebe a denominação de função identidade.

O gráfico da função identidade no plano cartesiano é uma reta oblíqua aos dois eixos e faz ângulo de 45 graus com ambos.

Função afim
Se em f(x) = ax + b fizermos  b = 0, teremos f(x) = ax. Neste caso a função recebe a denominação de função afim.

O gráfico de uma função afim é uma reta passando pela origem do sistema cartesiano.

Declividade
Chamamos declividade da reta à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo dos x. Na função de primeiro grau, esta tangente tem valor igual ao coeficiente a, que é denominado coeficiente angular da reta. O coeficiente b é chamado de coeficiente linear.
A partir do gráfico podemos determinar o valor do coeficiente angular. Basta tomar dois pontos A e B da função; ou da reta.
Para o cálculo da declividade ou coeficiente angular podemos usar a expressão abaixo:

Cálculo da declividade:

Note que o triângulo ABC destacado da figura é um triângulo retângulo. Assim, temos:

Sinal da função linear
O sinal da função linear ou de primeiro grau, exceto a função constante fica determinado pelo gráfico da função a partir da intersecção com o eixo dos x, conforme as figuras abaixo:

Primeiro caso: o coeficiente angular ou declividade a é positivo; isto é, a > 0.
Neste caso, o sinal da função é positivo à direita da raiz e negativo à esquerda.

Segundo caso: o coeficiente angular a ou declividade é negativo; isto é, a < 0.
Neste caso, o sinal da função é negativo à direita da raiz e positivo à esquerda.

Problemas:
1) Representar graficamente no plano cartesiano a função f(x) = -3x + 6.
    Solução
    
2) Numa certa cidade operam duas empresas de táxis. A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$ 6,00 e por quilômetro rodado R$ 3,00 enquanto que a empresa F cobra apenas por quilômetro rodado R$ 4,00. Pede-se as funções de cada empresa e o gráfico comparativo entre elas.
    Solução

3) Observando os dados da questão anterior (2) responda a seguinte pergunta: Se tivesse que fazer uma corrida de 8 km e táxis das duas empresas estivessem disponíveis, qual taxi você tomaria de modo a economizar na corrida o da empresa E ou o da empresa F?
    Solução

4) Dado o gráfico abaixo, ache a uma expressão analítica para a função.
    Solução

Solução do problema 1:
Como a = -3 e b = 6, temos que a reta corta o eixo vertical y no ponto (0, 6) e corta o eixo horizontal x no ponto (2, 0). O gráfico da função é portanto:

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Solução do problema 2:
Um taxista da empresa E cobra a cada quilômetro R$ 3,00. Daí temos que para x quilômetros a expressão será 3x. Como há também o valor fixo da bandeirada que é de R$ 6,00, a função para esta empresa é y = 3x + 6, onde y é o preço e x o número de quilômetros rodados. Já a empresa F não cobra a bandeirada então a função desta empresa é y = 4x.
Respostas:
Empresa E: y = 3x + 6
Empresa F: y = 4x

De 3x + 6 = 4x tiramos que x = 6 é a abscissa do ponto de intersecção entre as retas. Daí vem que I = (6, 24) é o ponto de equilíbrio entre as duas funções. Segue abaixo o gráfico pedido.

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Solução do problema 3:
Pela empresa E a corrida custaria y = 3(8) + 6; ou seja, R$ 30,00
Pela empresa F a corrida custaria y = 4(8); ou seja, R$ 32,00
Portanto a solução mais econômica para essa corrida é a empresa E.

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Solução do problema 4:
Consideremos os pontos do gráfico: A = (-3, 6) e B = (5, 0). Usando a declividade a, vem

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